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チェロの力学 |
チェロの弦の張力が、表板にどけ位の力を加えているか、また、演奏した時はどれ位の力が表板を振動させているか（加振力）を計算して見ました。 計算をしたチェロの寸法は下図の物です。
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下の図２は、弦が駒に乗って張られている状態を横から見たところです。 弦は指板・ナット方向に約８度、テールピース方向に約２０度の角度で張られています。
従って、単純なベクトルの計算から、４本の弦張力の合計を約５０Ｋｇと仮定すると、弦が駒を約２４Ｋｇの力で表板を押している事が分かりました。 すなわち、この力が表板に常に加わわっている力となります。
この値は、弦の全部の張力の、約１／２となります。
図２ 弦が駒を押し付けている力
次は、弦を実際に弾いて、弦が振動している時には、どれ位の力が表板に作用しているかを求めたいと思います。
下の図３は、鋼鉄製の弦（一番中の芯線部）が力を引っ張られた時のひずみ（伸び）と応力の関係を示したものです。 単純な、フックの法則 です。
弦の芯線部の太さなどは、図４に示すように、弦の種類によって異なっています。 ここでは、JARGER の Ｃ線について計算して見ました。 Ｃ線の線径は 0.45mm ですので、それらの値を代入して、Ｃ線が約１０Ｋｇの張力で張られている時の伸びを計算して見ました。
その大きさは、テールピースに引っ掛けている部分からナットまでの、８１．５ｃｍの部分で、約２．４ｍｍ伸びている事が分かりました。 ちなみに、この時弦の引張応力は、約６３Ｋｇ／ｍｍ＊ｍｍ でした。 この値では、絶対に弦は切れることは有りません。 要は、Ｃ線は丈夫ですが、弦を張った時は、暫くは伸びて、チューニングが狂うという事が分かります。（ただし、すぐに伸び切って安定しますが）
図３
図４
それでは、いよいよ、弦を実際に弾いて、弦が振動している時には、どれ位の力が表板に作用しているかを求めたいと思います。
図５ は、弦の中央部が横に ｗ だけ動いた時に、弦がどれ位伸びて、弦の張力が増えるかを、簡易的に三角形にモデル化したものです。（実際は、ハーモニックスカーブですので、こんなに簡単なモデルでは無いとおもいますが）
この ｗ を、弦の真中辺の振幅と考えます。
弦の真中辺が ｗ だけ動いた時には、弦の長さは （１１−１）式で計算されます。 元々の弦の長さは ｌ でしたので、（１１−２）式のようにひずみが増加した事になります。 このひずみの値を、前回と同じフックの法則の式 （１１−３）式に代入すると、張力の増加分が計算できます。
Ｃ線の最大振幅を １０ｍｍと仮定して （ｗ＝５ｍｍ）、（１１−３）式で計算すると、張力の増加分 ΔＴ＝０．３４３Ｋｇ と言う値が得られました。 以外と小さな値です。
図５
この張力の増加分の値で、駒を経由して表板がどれだけ押されるか？ は、図２ で計算した結果から分かります。
すなわち、張力の増加分の約１／２の大きさの力が、表板を押す事になります。
従って、図６ のように、表板を振動させる加振力は、（１１−５）式で表せます。 この最大の値は、１７０ｇｒ となり（これは、Ｃ線が最大振幅を １０ｍｍで振動した時）、意外と小さな、微妙な大きさである事が分かりました。
図６
このような小さな力でも表板や裏板が良くレスポンスして、良く鳴る楽器が、本当の名器なのでしょうか。
表板に加わる力と演奏時加振力編はこれで終わりです。
次回より、いよいよ、レスポンスの良い楽器にまつわりつく、狼 ウルフトーンの問題に近づいて行きます。 ご期待ください。
この 第２章 表板に加わる力と演奏時加振力 に関連して、バロック時代の楽器を検証してみましょう。
バロック時代の楽器は、その構造上の強度の制約から、ネックの角度が小さく、従って駒も低い楽器でした。 ネックの角度が小さく、駒も低いと、表板に加わる力はどれ位小さくなるか、試算して見ました。
仮に、このページのトップにある寸法の楽器より、駒の高さが １０ｍｍ（約１０％強）低い楽器だったとしたら、どうなるか計算して見ました。
この場合、弦は指板・ナット方向に約７．２度、テールピース方向に約１５．２度の角度で張られる事となり、 もし同じ弦を張って４本の弦張力の合計を約５０Ｋｇと仮定すると、弦が駒を 約１９Ｋｇの力で表板を押していると言う結果になりました。 この値は、元の駒の高さのものより、約２０％ 小さくなりました。 やはり、ネックの角度が小さくし、駒を低くすると、表板（胴）にかかる力は小さくなる事が分かりました。
同様に、演奏時の加振力も、最大の値は、１３７ｇｒ となり、約２０％ 小さくなりました。
やはり、バロック時代の楽器は、余り大きな音が出せなかった事も分かりました。
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工房ミネハラ
Mineo HaradaUpdated:2008/5/23
First Updated:2005/4/28