弓の力学 (３) 　　　第１章　弓の毛を張る

　一つの見方だけでは、正しい数値は得られない・・・これが、エンジニヤリングの鉄則です。　

 そこで、 別な手法・・・振動工学 を　弓の解析に応用してみました　

スティックの振動モードと振動数を調べてみると・・・　

機械工学便覧などには、(他の、振動工学の文献でも類似のものは紹介されている)　棒の横振動 の振動数を導き出す公式が紹介されています。　こちらをご覧ください。 　 この公式の中にも、縦弾性係数 E　と　断面２次モーメント I　の数値があることがわかります。 すなわち、棒のような部材が振動する時も、材料自身の強さを表す縦弾性係数 E　と、断面形状から決まる曲げ強さを表す断面２次モーメント I　の数値が振動数を決めるファクターとなっているのです。 　 したがって、スティックの振動の様子（モード）を調べ、振動数を調べることによって、縦弾性係数 E　と　断面２次モーメント I　の数値を検証することが可能となります。 　 すなわち、実際の弓で振動モードと振動数を計測して、その値と、前章の 表１　スティックの荷重−撓み計測結果と推定縦弾性係数 E で計測された縦弾性係数 E　と　断面２次モーメント I　の数値を、下記　図 ８　スティックの振動モード・振動数計測概略図　に記載の振動数の計算式に代入して得られる振動数を比較することによって、縦弾性係数 E　と　断面２次モーメント I　の数値の確かさを検証することが可能となります。 　 では、実際の弓でスティックの振動数を計測してみましょう。　実測は、下記の図のように行います。

図８　スティックの振動モード・振動数計測概略図

スクリューを緩めて、フロッグを外します。　毛がスティックの振動を妨げないように、弛ませておきます。 　 スティックを指で軽く摘んで垂直に吊るします。　摘む位置は、計測したい振動モードのによって異なります。　１次モード（最も低い振動数）を計測する場合は、上から 約130mm 程度の位置となります。　これは、こちらで紹介している　両端　自由−自由　振動の節　の部分になります。 　 スティックの端から 30mm 程度の位置に、 ピエゾピックアップ 　などの振動検出器（チューニングに使うチューナーに付属のピックアップなどで可）をはさみ、その出力波形をパソコンなどの波形・周波数解析装置で記録します。 　 上の図に示すような、打撃面にフェルトを貼った小さな　 ハンマー 　でスティックを軽く叩きます。 叩く位置も、上の図のように振動モードのによって異なります。 　 ハンマーでスティックを叩くと、スティックが振動して、その振動波形がパソコンなどの波形・周波数解析装置に記録されます。　耳の良い方なら、振動音を耳で聴いて、何の音程の音か・・・わかるかも知れません。 　 この計測では、スティックの振動を、 音の波形 として 周波数分析 のできる、Adobie Audition 2.0 で記録し、音に含まれている振動数を調べました。録音はこちらの機材を使用しております。 　 １次モードの振動数は、数十Hz の低い音ですが、２次モード・３次モードの音は結構高い音ですので、耳を澄ませば聴き取れるかも知れません。 　 どんな音が記録されたか・・・ちょっと聞いてみてください。　 これらは、３本の違う弓で計測されたスティックの振動音です。　引き続き、解説をご覧ください。

スティックは良く振動することが分かった・・・　

スティックは堅い材料で出来ていますので、はっきりとした振動モードが現れ、その振動数も明確に確認できました。 　 下のデータは、３本の違う弓で計測されたスティックの振動音です。 　 スティック振動波形には、５っの音が記録されています。　左から順に、一番はじめの音は、スティックの１次モードの振動音、二番目はスティックの２次モードの振動音、三番目はスティックの３次モードの振動音で、順に高い音になっています。 　 四番目と五番目の音は、別な解析に使用するために、弓の毛を張った状態で、スティックを叩いた時の振動波形です。（この章では調べません） 　 ３本の違う弓・・・は、下に記載のように、ドイツの弓製作家が作ったフェルナンブコの丸弓　Sandner と  J.P. Gabriel G-30、超軽量カーボンファイバー製のArcus Sonata です。　 サウンドデータをお聴き頂けば一目瞭然と思いますが、３本の違う弓・・・では、Sandner と  J.P. Gabriel G-30、Arcus Sonata　の順に、音が高くなっていることがわかると思います。　結論的に言えば、その順で、材料の 縦弾性係数 E　の数値や　断面２次モーメント I　の数値が大きい・・・という事が言えます。 　 右側の、スティック振動の周波数分析には、左のスティック振動波形のカーソルがある位置で、その振動に含まれている周波数成分を表しています。　それぞれ、１次モード、２次モード、３次モードの振動の振動数を書き込んであります。 　 これからも、３本の違う弓・・・で、Sandner と  J.P. Gabriel G-30、Arcus Sonata　の順に、周波数が高くなっていることがわかると思います。 　 このように、スティックを叩いた時のスティックの振動を検出して、それの周波数分析を行うことによって、 スティックがどのような振動モードで振動し、その時の周波数（振動数）が幾らであるか・・・ということが、実験から分かります。

Cello Bow	材質	サウンドデータ	スティック振動波形スティック振動の周波数分析
Sandner made in Germany	Pe
J.P. Gabriel G-30 made in Germany	Pe
Arcus Sonata made in Austria	CFRP

こちらの　表１　で取り上げた１３本のチェロ弓全てで同様のデータを採ってみました。 　 その結果から得られた、各弓の１次モード、２次モード、３次モードの振動の振動数を、表２ スティック振動の振動数の実測値と計算値　の　実測値 (Hz)　欄に記載してあります。　サウンドデータをお聴きになり、確認してください。

表２　スティック振動の振動数の実測値と計算値

	Cello Bow	材質	形状	重量、重心			長さ (cm)			太さ (mm)			撓みδ の検証・・・E を検証				(13) Stick のみ振動　両端　自由−自由
													断面２次モーメント		両端支持の中央撓みδ		振動モード	１次	２次	３次	サウンドデータ
				Ws Stick (gr)	全重量 (gr)	重心 (cm)	全長	ls Stick	l 毛	先	中央 d mid	元	等価 直径d (mm)	I (mm⁴)	長さ (mm)	推定 E 縦弾性係数 Kg/mm*mm	重量係数 ρ	1.0	2.8	5.4
1	Sandner																実測値 (Hz)	70	202	388
		Pe	丸	50.0	81.0	17.0	71.5	69.8	61.0	5.9	9.5	10.0					1.25	73	202	396
													9.5	400	610	2,300
2	Arcus Veloce																実測値 (Hz)	94	280	536
		CFRP	丸	48.0	78.0	17.7	73.3	71.6	62.0	6.6	9.6	10.4					1.25	100	275	540
										di	8.5		9.6	161	620	11,000
3	J.P.Gabriel G-30																実測値 (Hz)	75	210	404
		Pe	丸	57.0	85.0	17.4	71.3	69.6	60.4	6.6	9.1	9.7